三角形中线定理推导过程（三角形中线长度公式计算过程）

在2019年管理类联考中有一道题：在△ABC中AB=4，AC=6，BC=8，D为BC的中点，求AD是多少。这是一道求三角形某边上的中线的题，下面我们一起求一下三角形中线的计算公式

如下图△ABC中，AD是边BC上的中线，设AB=c、BC=a、AC=b，如何用a、b、c来表示AD。

三角形中线图

计算过程：将△ABC绕点D旋转180°到△EBC,则四边形ABEC是平行四边形。在△AEC中有

AE²=b²+c²-2bc*cos∠ACE(余弦定理)。

同理在△ABC中也有

BC²=a²=b²+c²-2bc*cos∠BAC。

又∠BAC与∠ACE互补，则

cos∠BAC=-cos∠ACE。

那么AE²+BC²=2b²+2c²。即在平行四边形中两对角线的平方和等于四边平方和。

根据这个公式可求出AD。在平行四边形ABEC中，AE=2AD，BC=a(题设)。代入公式有4AD²+a²=2b²+2c²，化简得

AD²=b²/2+c²/2-a²/4。因此三角形中线定理为：三角形任意一条边上的中线的平方，等于两侧边平方和的一半减去这条边平方的四分之一。

回到文章开头题目，其中AB=c=4，AC=b=6，BC=a=8,则BC边上的中线

AD²=4²/2+6²/2-8²/4=10，AD=√10。